• 如果要求二次多项式始终大于0的条件是什么？

01 Cauchy-Shwartz不等式

一、信号测不准原理

  前两天，  介绍信息领域中的信号测不准定理。 利用信号时域波形和频谱波形的二阶矩 作为信号宽度， 也就是中心位置不确定性的度量。 它们之间的乘积等于等于一个常量。  使用傅里叶变换的微分性质以及能量守恒定理，    可以将乘积表达式更换为时域的乘积，  最后一步需要使用到 柯西-施瓦兹不等式，  合并分子乘积两项，   最后得到证明的结果。   这是其需要应用的柯西-施瓦兹不等式究竟如何证明， 下面给出它的常见到的证明过程。

二、不等式证明

  在这里只证明在两个函数都是实数函数的情况，   假设使用 g(x) 的倍数去逼近 f(x)。 两者之间的误差信号能量是对误差信号平方的积分。  这个误差能量是参数 y 的函数。 将上面积分号的表达式展开。 对应给定的任意 f(x), g(x)，    

这个表达式是关于 y 的二次多项式。 对应的系数设为ABC。 由于该函数对应的是误差信号的能量， 始终大于等于0。  根据二次多项式的性质， 他的系数满足一个不等式， 也就是二次多项式根式中的判别式的值小于等于0。  将系数使用它们各自的表达式替代，  此时， 我们就得到了所需要证明的 柯西-施瓦兹不等式了。 它说明对于两个信号内积的能量， 小于等于两个信号能量的乘积。 等号的成立条件， 要求两个信号 f(x), g(x) 之间是一个比例关系。

※ 总  结 ※

  本文证明了数学上的注明不等式， 柯西-施瓦兹不等式。  对于复数函数， 这个不等式也成立。 证明过程类似。

■ 相关文献链接:

• 如果要求二次多项式始终大于0的条件是什么？-CSDN博客