2.4 微积分 题目

1. 绘制函数$y=f(x)=x^3-\frac{1}{x}$和其在$x=1$处切线的图像。
2. 求函数$f(\mathbf{x})=3x_1^2+5e^{x_2}$的梯度。
3. 函数$f(\mathbf{x})=\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2$的梯度是什么？
4. 尝试写出函数$u=f(x,y,z)$，其中$x=x(a,b)$，$y=y(a,b)$，$z=z(a,b)$的链式法则。

解答

{“value”:“”,“field”:“reasoning_content”}
以下是四个问题的解答：

1. 绘制函数[y = x^3 - \frac{1}{x}]及其在[x=1]处的切线
   步骤：

计算导数：[f’(x) = 3x^2 + \frac{1}{x^2}]
求x=1处的导数值：[f’(1) = 3(1)^2 + \frac{1}{1^2} = 4]
求x=1处的函数值：[f(1) = 1^3 - \frac{1}{1} = 0]
切线方程：[y = 4(x-1) + 0 \Rightarrow y = 4x - 4]

图像特征：

原函数在[x>0]时，随x增大快速上升；在[x<0]时，因[-1/x]项主导，左侧有垂直渐近线。
切线在[x=1]处与函数相切，斜率为4。

2. 求函数[f(\mathbf{x}) = 3x_1^2 + 5e^{x_2}]的梯度
   梯度计算：
   [
   \nabla f = \begin{bmatrix}
   \frac{\partial f}{\partial x_1}
   \frac{\partial f}{\partial x_2}
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
   6x_1
   5e^{x_2}
   \end{bmatrix}
   ]

3. 函数[f(\mathbf{x}) = |\mathbf{x}|_2]的梯度
   定义：[f(\mathbf{x}) = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}]
   梯度公式（当[\mathbf{x} \neq \mathbf{0}]时）：
   [
   \nabla f = \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|_2}
   ]

特例：若[\mathbf{x} = \mathbf{0}]，梯度不存在（原点处不可导）。

4. 链式法则应用：[u = f(x,y,z)]，其中[x = x(a,b), y = y(a,b), z = z(a,b)]
   链式法则表达式：
   [
   \frac{\partial u}{\partial a} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial a} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial a} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial a}
   ]
   [
   \frac{\partial u}{\partial b} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial b} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial b} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial b}
   ]

公式总结

问题	关键公式
1	[f’(x) = 3x^2 + \frac{1}{x^2}]，切线[y = 4x - 4]
2	[\nabla f = [6x_1, 5e{x_2}]T]
3	[\nabla f = \frac{\mathbf{x}}{
4	链式法则如上述分步公式
如需进一步代码实现（如绘制图像），可提供具体编程语言要求。

以下是针对代码的逐层解析，主要围绕plot()和set_axes()两个绘图函数的功能实现：

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一、函数功能概览

这两个函数是深度学习教材《动手学深度学习》(D2L) 中封装的标准化绘图工具，主要作用是通过简化matplotlib的API调用流程，实现快速创建规范化的科研图表。

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二、set_axes()函数解析

#@save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """设置matplotlib的轴"""
    axes.set_xlabel(xlabel)          # 设置X轴标签
    axes.set_ylabel(ylabel)          # 设置Y轴标签
    axes.set_xscale(xscale)          # 设置X轴刻度类型（linear/log）
    axes.set_yscale(yscale)          # 设置Y轴刻度类型
    axes.set_xlim(xlim)              # 设置X轴范围
    axes.set_ylim(ylim)              # 设置Y轴范围
    if legend:
        axes.legend(legend)          # 添加图例
    axes.grid()                      # 显示网格

核心作用：集中配置坐标轴属性，通过参数化实现以下功能：

• 坐标标签设置（xlabel/ylabel）
• 坐标范围控制（xlim/ylim）
• 刻度类型转换（xscale/yscale支持线性/对数坐标）
• 图例与网格的显示控制

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三、plot()函数解析

#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    # 参数预处理
    if legend is None: legend = []
    set_figsize(figsize)  # 设置画布尺寸
    axes = axes if axes else d2l.plt.gca()  # 获取当前axes或新建

    # 数据维度检测函数
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or 
                isinstance(X, list) and not hasattr(X[0], "__len__"))

    # 数据格式标准化
    if has_one_axis(X): X = [X]
    if Y is None: X, Y = [[]]*len(X), X
    elif has_one_axis(Y): Y = [Y]
    if len(X) != len(Y): X = X * len(Y)

    # 清空画布并绘制曲线
    axes.cla()
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
        axes.plot(x, y, fmt) if len(x) else axes.plot(y, fmt)
    
    # 调用set_axes配置坐标轴
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)

关键设计亮点

1. 智能数据适配

   • 通过has_one_axis()自动检测一维数据，将其包装为二维列表
   • 支持Y=None时自动用X作为Y值（此时X索引作为X轴）

2. 多曲线绘制

   • fmts参数预设4种线条样式（实线、品红虚线、绿点划线、红点线）
   • 通过zip(X,Y,fmts)实现多组数据对应不同样式的自动匹配

3. 灵活的画布控制

   • figsize=(3.5,2.5)默认采用论文常用的小尺寸图表
   • 支持传入外部axes对象实现多子图绘制

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四、典型使用示例

import numpy as np
x = np.linspace(0, 10, 100)
y1 = np.sin(x)
y2 = np.cos(x)

# 绘制双曲线
plot([x, x], [y1, y2], 
     xlabel='x', ylabel='y', 
     legend=['sin(x)', 'cos(x)'], 
     xlim=(0, 10), ylim=(-1.5, 1.5))

输出效果：

• 生成尺寸为3.5x2.5英寸的图表
• X轴标签为"x"，范围0-10；Y轴标签为"y"，范围-1.5~1.5
• 两条曲线分别以实线('-')和品红虚线('m--')呈现
• 右下角显示图例说明

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五、与原生matplotlib的对比

功能	原生matplotlib实现	D2L plot()函数优势
多曲线绘制	需手动循环调用plt.plot()，样式需逐个设置	自动匹配数据与样式，支持批量绘制
坐标轴配置	需分别调用xlabel()、xlim()等多个函数	通过set_axes()集中配置，参数化更简洁
画布尺寸	需记忆plt.figure(figsize=(w,h))	预设科研常用尺寸，通过set_figsize()快捷调整
数据维度处理	需手动处理一维/二维数据转换	自动检测数据维度并进行标准化包装

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该工具函数的设计充分体现了封装常用模式和降低使用门槛的理念，特别适合深度学习实验中快速可视化训练曲线、数据分布等场景。