高等数学（微积分）的核心公式与定理是数学分析的基础，以下按逻辑框架分类整理，涵盖极限、微分、积分、级数、微分方程等关键内容，适合系统学习与复习。

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一、极限与连续

1. 重要极限公式

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e

\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e

2. 极限运算法则

· 四则运算法则（若极限存在）
· 复合函数极限定理
· 夹逼准则（三明治定理）

3. 连续性

· 函数 f(x) 在点 x_0 连续的定义：
  \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
· 闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理、介值定理）

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二、一元函数微分学

1. 导数定义

f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

2. 求导法则

· 四则运算法则：
  (u \pm v)' = u' \pm v', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
· 链式法则（复合函数）：
  \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
· 反函数求导：
  (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}, \quad y = f(x)
· 隐函数求导（对方程两边求导）

3. 基本初等函数导数公式

\begin{aligned}
& (C)' = 0 \\
& (x^n)' = nx^{n-1} \\
& (\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x \\
& (\tan x)' = \sec^2 x, \quad (\cot x)' = -\csc^2 x \\
& (e^x)' = e^x, \quad (a^x)' = a^x \ln a \\
& (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \\
& (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
& (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}, \quad (\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1+x^2}
\end{aligned}

4. 微分

dy = f'(x) dx

5. 微分中值定理

· 费马定理：极值点导数为零（可导条件下）
· 罗尔定理：闭区间连续、开区间可导、端点值相等 → 存在导数为零的点
· 拉格朗日中值定理：
  f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a), \quad \xi \in (a,b)
· 柯西中值定理：
  \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, \quad \xi \in (a,b)

6. 泰勒公式（带拉格朗日余项）

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, \quad \xi \in (x_0, x)

常见展开（麦克劳林级数）：

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (-1 < x \le 1)

7. 函数单调性、极值与凹凸性

· 单调性：f'(x) > 0  递增，f'(x) < 0 递减
· 极值必要条件：若可导且取极值，则 f'(x_0) = 0
· 极值充分条件：一阶导数变号，或二阶导数 f''(x_0) > 0 极小，f''(x_0) < 0 极大
· 凹凸性：f''(x) > 0 凹，f''(x) < 0 凸
· 拐点：凹凸性改变的点

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三、一元函数积分学

1. 不定积分

· 定义：\int f(x) dx = F(x) + C，满足 F'(x) = f(x)
· 线性性质：
  \int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx

2. 基本积分公式（逆求导）

\begin{aligned}
& \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1) \\
& \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C \\
& \int e^x dx = e^x + C, \quad \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \\
& \int \sin x dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x dx = \sin x + C \\
& \int \sec^2 x dx = \tan x + C, \quad \int \csc^2 x dx = -\cot x + C \\
& \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C, \quad \int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C
\end{aligned}

3. 积分方法

· 换元积分法：
  · 第一类（凑微分）：\int f[\phi(x)] \phi'(x) dx = \int f(u) du
  · 第二类（变量代换）：x = \psi(t)，则 \int f(x) dx = \int f[\psi(t)] \psi'(t) dt
· 分部积分法：
  \int u dv = uv - \int v du
  口诀：反、对、幂、指、三（选择 u 的优先级）

4. 定积分

· 定义：黎曼和极限
  \int_a^b f(x) dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i
· 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）：
  \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)
· 定积分性质：线性、可加性、保号性、积分中值定理：
  \int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a), \quad \xi \in [a,b]

5. 定积分换元与分部积分

公式与不定积分类似，注意换元时上下限对应改变。

6. 广义积分（反常积分）

· 无穷区间：
  \int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) dx
· 无界函数（瑕积分）：
  \int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx \quad (f(x) \text{在 } b \text{ 点无界})

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四、多元函数微分学

1. 偏导数

· 定义：
  \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x}

2. 全微分

若 z = f(x,y) 可微：

\[
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy

3. 链式法则（多元复合函数）

\[
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}

4. 隐函数求导（由 F(x,y)=0 确定 y=y(x)）

\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

5. 方向导数与梯度

· 方向导数：
  \frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot \mathbf{l}^0
· 梯度：
  \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)

6. 多元函数极值

· 必要条件：\nabla f = 0（驻点）
· 充分条件：Hessian 矩阵正定（极小）、负定（极大）

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五、重积分与曲线曲面积分

1. 二重积分

· 直角坐标：
  \iint_D f(x,y) dxdy
· 极坐标换元：
  x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dxdy = r dr d\theta

2. 三重积分

· 直角坐标、柱坐标、球坐标换元
· 柱坐标：x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z，体积元 dV = r dr d\theta dz
· 球坐标：x = \rho\sin\phi\cos\theta, y = \rho\sin\phi\sin\theta, z = \rho\cos\phi，体积元 dV = \rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta

3. 曲线积分

· 第一类（对弧长）：
  \int_L f(x,y) ds
· 第二类（对坐标）：
  \int_L P dx + Q dy

4. 格林公式（平面曲线积分与二重积分关系）

\[
\oint_L P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy

其中 L 是区域 D 的正向边界。

5. 曲面积分

· 第一类（对面积）：
  \iint_\Sigma f(x,y,z) dS
· 第二类（对坐标）：
  \iint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy

6. 高斯公式（曲面积分与三重积分关系）

\[
\oiint_\Sigma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \nabla \cdot \mathbf{F} dV

其中 \mathbf{F} = (P, Q, R)，\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}。

7. 斯托克斯公式（空间曲线积分与曲面积分关系）

\[
\oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_\Sigma (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}

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六、无穷级数

1. 数项级数

· 收敛定义：部分和序列极限存在
· 正项级数审敛法：
  · 比较审敛法
  · 比值审敛法（达朗贝尔）：
    \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho \quad (\rho < 1 \text{ 收敛}, \rho > 1 \text{ 发散})
  · 根值审敛法（柯西）：
    \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho \quad (\rho < 1 \text{ 收敛}, \rho > 1 \text{ 发散})
  · 积分审敛法
· 交错级数莱布尼茨审敛法

2. 幂级数

· 收敛半径 R：
  R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}
  或
  R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \quad (\text{若极限存在})
· 和函数在收敛区间内连续、可导、可积

3. 傅里叶级数（周期为 2\pi）

\[
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

其中

\[
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx

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七、常微分方程

1. 一阶微分方程

· 可分离变量：
  \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \quad \Rightarrow \quad \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx
· 齐次方程：\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)，令 u = \frac{y}{x}
· 一阶线性：
  \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
  通解：
  y = e^{-\int P dx} \left( \int Q e^{\int P dx} dx + C \right)
· 伯努利方程：
  \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \ne 0,1)
  令 z = y^{1-n} 化为一阶线性。

2. 二阶线性微分方程

· 齐次方程：
  y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
· 非齐次方程：
  y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)
  通解：齐次通解 + 非齐次特解

3. 常系数线性微分方程

· 齐次：
  y'' + py' + qy = 0
  特征方程：
  r^2 + pr + q = 0
  根据根的情况写出通解：
  · 两相异实根 r_1, r_2：y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
  · 重根 r：y = (C_1 + C_2 x) e^{r x}
  · 共轭复根 \alpha \pm \beta i：y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)
· 非齐次特解：可用待定系数法（根据 f(x) 形式设特解）

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八、补充要点

· 微积分基本定理：微分与积分互为逆运算，是微积分的核心思想。
· 积分中值定理：将函数平均值与导数联系起来。
· 洛必达法则：处理 \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty} 型极限（注意使用条件）。
· 雅可比行列式：用于多重积分的变量替换。
· 向量分析：梯度、散度、旋度的公式与物理意义。

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以上是高等数学（微积分）的核心公式与定理框架，实际应用中需结合具体问题灵活运用。建议通过练习加深理解，掌握推导过程与几何意义。