扩展：Q-Learning 收敛性证明
下面给出（针对有限状态—动作集合、贴现因子、有界奖励）。证明路线遵循“”，并兼顾异步坐标更新的事实。所用到的关键工具是：Bellman 最优算子是范数下的压缩、Robbins–Monro 步长条件、鞅差噪声与异步随机逼近的收敛定理。
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下面给出 Q-learning 收敛性的一个严谨证明（针对有限状态—动作集合、贴现因子、有界奖励）。证明路线遵循“压缩映射 + 随机逼近（stochastic approximation）/ODE 法”，并兼顾异步坐标更新的事实。所用到的关键工具是：Bellman 最优算子是
范数下的压缩、Robbins–Monro 步长条件、鞅差噪声与异步随机逼近的收敛定理
1. 设定与假设：
注：实际常见的“GLIE”策略（渐近贪心且每个 (s,a） 无穷次被探索）可保证 (A1)。
2. Bellman 最优算子与不动点：
3. 将 Q-learning 写成“异步随机逼近”
4. 极限 ODE 与全局渐近稳定：
5. 随机逼近收敛定理的应用
6. 用更“可计算”的不等式再看一眼（误差的超鞅收缩）
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