PBiCGSTAB（Preconditioned Bi-Conjugate Gradient Stabilized）是一种用于求解大型稀疏线性方程组的迭代方法。它是BiCGSTAB算法的改进版本，通过引入预处理技术来加速收敛。PBiCGSTAB算法通常用于求解非对称线性方程组。

PBiCGSTAB算法的基本步骤

1. 初始化：给定初始猜测解 ( x_0 )，计算初始残差 ( r_0 = b - A x_0 )。
2. 预处理：应用预处理矩阵 ( M ) 来加速收敛。
3. 迭代：通过一系列的向量运算（如矩阵-向量乘法、向量内积等）来更新解和残差，直到满足收敛条件。

Fortran示例代码

以下是一个简单的Fortran示例代码，展示了如何实现PBiCGSTAB算法。假设我们有一个稀疏矩阵 ( A ) 和右端向量 ( b )，并且我们已经定义了一个预处理矩阵 ( M )。

program pbicgstab
    implicit none
    integer, parameter :: n = 1000  ! 矩阵大小
    real(8), dimension(n) :: x, b, r, r0, p, v, s, t, y, z
    real(8) :: alpha, beta, omega, rho, rho_prev, tol, norm_r0, norm_r
    integer :: max_iter, iter
    real(8), dimension(n, n) :: A, M  ! 假设A和M是密集矩阵，实际应用中应为稀疏矩阵

    ! 初始化
    x = 0.0d0  ! 初始猜测解
    b = 1.0d0  ! 右端向量
    r = b - matmul(A, x)  ! 初始残差
    r0 = r
    rho = 1.0d0
    alpha = 1.0d0
    omega = 1.0d0
    tol = 1.0d-6  ! 收敛容差
    max_iter = 1000  ! 最大迭代次数

    norm_r0 = sqrt(dot_product(r0, r0))  ! 初始残差的范数

    ! PBiCGSTAB迭代
    do iter = 1, max_iter
        rho_prev = rho
        rho = dot_product(r0, r)
        beta = (rho / rho_prev) * (alpha / omega)
        p = r + beta * (p - omega * v)
        y = matmul(M, p)  ! 预处理
        v = matmul(A, y)
        alpha = rho / dot_product(r0, v)
        s = r - alpha * v
        z = matmul(M, s)  ! 预处理
        t = matmul(A, z)
        omega = dot_product(t, s) / dot_product(t, t)
        x = x + alpha * y + omega * z
        r = s - omega * t

        ! 检查收敛
        norm_r = sqrt(dot_product(r, r))
        if (norm_r / norm_r0 < tol) exit
    end do

    ! 输出结果
    print *, "迭代次数: ", iter
    print *, "最终残差: ", norm_r

end program pbicgstab

代码说明

1. 初始化：定义了矩阵大小 ( n )，初始化解向量 ( x )、右端向量 ( b )、残差向量 ( r ) 等。
2. 预处理：在每次迭代中，使用预处理矩阵 ( M ) 对向量 ( p ) 和 ( s ) 进行预处理。
3. 迭代：通过一系列的向量运算更新解和残差，直到满足收敛条件。
4. 收敛检查：在每次迭代后检查残差的范数，如果满足收敛条件则退出循环。

注意事项

• 实际应用中，矩阵 ( A ) 和 ( M ) 通常是稀疏矩阵，因此应使用稀疏矩阵存储格式（如CSR、CSC等）来节省内存和计算资源。
• 预处理矩阵 ( M ) 的选择对算法的收敛速度有很大影响，常用的预处理方法包括Jacobi预处理、ILU分解等。

这个示例代码是一个简单的实现，实际应用中可能需要根据具体问题进行优化和调整。

附注

此处M应该是右边预处理器，否者逻辑不对