在神奇的强化学习世界里，有三个超级厉害的“魔法”，它们叫贝尔曼最优公式、值迭代和策略迭代。学会了这三个“魔法”，我们就能帮智能体在游戏里找到最好的通关方法，做出最聪明的决定！

核心概念

贝尔曼最优公式就像是一个神秘的藏宝图公式，它能告诉我们在游戏的某个状态下，怎么做能得到最多的奖励。在一个叫做马尔可夫决策过程（MDP）的“游戏世界”里，有很多不同的状态（就像游戏里不同的关卡位置），还有很多可以做的动作（比如前进、后退、跳跃）。状态转移概率就是做了某个动作后，从一个关卡跳到另一个关卡，并且得到奖励的可能性。折扣因子 (\gamma) 是一个在 0 到 1 之间的数，它用来决定是现在拿到奖励更开心，还是以后拿到奖励更划算。

最优状态价值函数 (v^*(s)) 就是从某个关卡 (s) 出发，按照最聪明的玩法，能得到的奖励总分。它的贝尔曼最优公式是：
$$v^{\ast }(s)=\underset{a\in A(s)}{\max }\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)(r+\gamma v^{\ast }(s^{\prime }))$$
用大白话来说，就是在当前关卡 (s)，我们要在所有能做的动作 (a) 里，挑出那个能让我们拿到最多奖励的动作。这个奖励包括马上能拿到的奖励 (r)，还有从下一个关卡 (s’) 出发，按照最聪明的玩法能拿到的奖励（要打个 (\gamma) 折哦）。

类似地，最优动作价值函数 (q^*(s, a)) 表示在关卡 (s) 做了动作 (a) 后，按照最聪明的玩法，能得到的奖励总分。它的贝尔曼最优公式是：
$$q^{\ast }(s,a)=\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)(r+\gamma \underset{a^{\prime }\in A(s^{\prime })}{\max }{q}^{\ast }(s^{\prime },a^{\prime }))$$
这就是说在关卡 (s) 做了动作 (a) 后，我们得到的奖励是马上拿到的奖励 (r)，加上从下一个关卡 (s’) 出发，做最聪明的动作 (a’) 能拿到的奖励（同样要打个 (\gamma) 折）。

示例说明

我们来玩一个超级简单的“网格冒险游戏”！假设有一个小机器人在一个方格组成的世界里，它的目标是走到右上角的宝藏位置。每个方格就是一个关卡（状态），小机器人可以向上、向下、向左、向右走（动作）。如果走到宝藏位置，就能得到 10 分奖励，其他时候得到 0 分。折扣因子 (\gamma = 0.9)，意思是未来的奖励要打 9 折。

比如说现在小机器人在某个方格 (s)，它有三个相邻的方格 (s_1)、(s_2)、(s_3)，从 (s) 分别做动作 (a_1)、(a_2)、(a_3) 可以到达它们，而且到达的可能性（状态转移概率）分别是 (p_1)、(p_2)、(p_3)。如果 (s_1)、(s_2)、(s_3) 按照最聪明的玩法能得到的奖励总分已经知道了，分别是 (v^*(s_1))、(v(s_2))、(v^(s_3))，那么方格 (s) 按照最聪明的玩法能得到的奖励总分 (v^*(s)) 就是：
$$v^{\ast }(s)=\underset{a_i}{\max }\sum _{j=1}^3{p}_j(0+0.9\times v^{\ast }(s_j))$$
小机器人要从三个动作里挑出一个，让这个公式算出来的分数最大，这个最大的分数就是方格 (s) 的最优奖励总分啦！

值迭代算法

原理剖析

值迭代算法就像小机器人不断试错，慢慢找到最佳路线的过程。它的核心就是不停地更新每个关卡能得到的奖励分数，直到找到最准确的分数，然后根据这个分数找到最聪明的走法。

具体步骤如下：

1. 初始化奖励分数：先给每个关卡随便猜一个奖励分数，一般都先猜 0 分。我们把这个初始的分数叫做 (V_0(s))，每个关卡 (s) 都有一个这样的初始分数。
2. 迭代更新分数：每次“试错”（迭代）的时候，对于每个关卡 (s)，我们把所有能做的动作 (a) 都试一遍，算出每个动作能得到的奖励期望（就是把马上得到的奖励和下一个关卡的奖励分数打折后加起来），然后挑出最大的那个期望，作为这个关卡新的奖励分数 (V_{k + 1}(s))。更新公式是：
   $$V_{k+1}(s)=\underset{a\in A(s)}{\max }\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)(r+\gamma V_k(s^{\prime }))$$
   就好像小机器人在每个关卡都把所有路走一遍，看看哪条路能得到最多的奖励，然后记住这条路的奖励分数。每次试完，都用新的分数更新之前猜的分数，慢慢地就越来越准确啦！
3. 判断找没找对：每次试完后，我们检查一下每个关卡的奖励分数变化大不大。如果所有关卡里，分数变化最大的那个都小于一个很小的数 (\epsilon)（比如 0.001），就说明我们找得差不多对了，不用再试啦。这时候的分数 (V_{k + 1}(s)) 就很接近最准确的分数 (v^*(s)) 啦。
4. 确定最佳路线：找到了每个关卡差不多准确的奖励分数后，小机器人就知道在每个关卡怎么做最划算了。它会选择在每个关卡做那个能得到最大奖励期望的动作，这个动作就是最佳路线 (\pi^*(s))，用公式表示就是：
   $${\pi }^{\ast }(s)=\arg \underset{a\in A(s)}{\max }\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)(r+\gamma V^{\ast }(s^{\prime }))$$

示例详解

还是刚才的“网格冒险游戏”，这次我们用 Python 代码来试试看值迭代算法！假设网格是 (3 \times 3) 的，右上角是宝藏，左下角是不能去的陷阱。

import numpy as np

# 初始化状态价值函数，所有状态价值设为0
V = np.zeros((3, 3))
# 折扣因子
gamma = 0.9
# 迭代停止阈值
epsilon = 0.001

# 定义动作：0上，1下，2左，3右
actions = [0, 1, 2, 3]

# 状态转移和奖励函数（简化示例，假设确定转移）
def get_transition_reward(state, action):
    x, y = state
    if action == 0 and y < 2:  # 上
        new_state = (x, y + 1)
        reward = 10 if new_state == (2, 2) else 0
    elif action == 1 and y > 0:  # 下
        new_state = (x, y - 1)
        reward = 10 if new_state == (2, 2) else 0
    elif action == 2 and x > 0:  # 左
        new_state = (x - 1, y)
        reward = 10 if new_state == (2, 2) else 0
    elif action == 3 and x < 2:  # 右
        new_state = (x + 1, y)
        reward = 10 if new_state == (2, 2) else 0
    else:
        new_state = state
        reward = 0
    return new_state, reward

# 值迭代
while True:
    delta = 0
    V_new = np.copy(V)
    for x in range(3):
        for y in range(3):
            state = (x, y)
            if state == (2, 2):  # 目标状态
                continue
            v_max = -float('inf')
            for action in actions:
                new_state, reward = get_transition_reward(state, action)
                v = reward + gamma * V[new_state]
                v_max = max(v_max, v)
            V_new[x, y] = v_max
            delta = max(delta, np.abs(V_new[x, y] - V[x, y]))
    V = V_new
    if delta < epsilon:
        break

# 根据最终的状态价值函数确定最优策略
policy = np.zeros((3, 3), dtype=int)
for x in range(3):
    for y in range(3):
        state = (x, y)
        if state == (2, 2):
            continue
        v_max = -float('inf')
        best_action = 0
        for action in actions:
            new_state, reward = get_transition_reward(state, action)
            v = reward + gamma * V[new_state]
            if v > v_max:
                v_max = v
                best_action = action
        policy[x, y] = best_action

print("最优状态价值函数：")
print(V)
print("最优策略：（0上，1下，2左，3右）")
print(policy)

运行这段代码，小机器人就能通过值迭代算法，找到每个方格的最优奖励分数，还有从每个方格出发的最佳路线哦！

策略迭代算法

原理阐释

策略迭代算法就像小机器人先随便定一个走法，然后不断改进这个走法，直到找到最聪明的走法。它有两个重要步骤：给当前走法打分（策略评估），然后改进走法（策略改进）。

1. 给走法打分：小机器人先随便定一个走法 (\pi)，然后计算按照这个走法，在每个关卡 (s) 能得到的奖励分数 (V^{\pi}(s))。打分的公式是：
   $$V^{\pi }(s)=\sum _a\pi (a|s)\left(\sum _{r}p(r|s,a)r+\gamma \sum _{s^{\prime }}p(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime })\right)$$
   这里 (\pi(a | s)) 就是在关卡 (s) 按照当前走法，选择动作 (a) 的可能性。通过这个公式不断计算，就能知道当前走法在每个关卡的奖励分数，也就是给这个走法打个分，看看它好不好。
2. 改进走法：知道了当前走法的分数后，小机器人就开始改进走法啦。在每个关卡 (s)，它会看看做哪个动作能得到最多的奖励，这个动作就是新的走法 (\pi’)。判断的公式是：
   动作价值函数：
   $$Q^{\pi }(s,a)=\sum _{r}p(r|s,a)r+\gamma \sum _{s^{\prime }}p(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime })$$
   新的走法：
   $${\pi }^{\prime }(s)=\arg \underset{a}{\max }{Q}^{\pi }(s,a)$$
   小机器人不断重复打分和改进走法这两个步骤，直到走法不再变化，这时候就找到了最聪明的走法，也就是最优策略！

示例说明

同样是在 (3 \times 3) 的“网格冒险游戏”里，我们用 Python 代码来试试策略迭代算法。假设一开始小机器人在每个方格都是随机选择动作（每个动作概率都是 0.25）。

import numpy as np

# 初始化状态价值函数，所有状态价值设为0
V = np.zeros((3, 3))
# 折扣因子
gamma = 0.9
# 定义动作：0上，1下，2左，3右
actions = [0, 1, 2, 3]

# 状态转移和奖励函数（简化示例，假设确定转移）
def get_transition_reward(state, action):
    x, y = state
    if action == 0 and y < 2:  # 上
        new_state = (x, y + 1)
        reward = 10 if new_state == (2, 2) else 0
    elif action == 1 and y > 0:  # 下
        new_state = (x, y - 1)
        reward = 10 if new_state == (2, 2) else 0
    elif action == 2 and x > 0:  # 左
        new_state = (x - 1, y)
        reward = 10 if new_state == (2, 2) else 0
    elif action == 3 and x < 2:  # 右
        new_state = (x + 1, y)
        reward = 10 if new_state == (2, 2) else 0
    else:
        new_state = state
        reward = 0
    return new_state, reward

# 策略评估
def policy_evaluation(policy):
    V_new = np.copy(V)
    while True:
        delta = 0
        V_old = np.copy(V_new)
        for x in range(3):
            for y in range(3):
                state = (x, y)
                v = 0
                for action in actions:
                    if policy[x, y] == action:
                        new_state, reward = get_transition_reward(state, action)
                        v += (reward + gamma * V_old[new_state])
                V_new[x, y] = v
                delta = max(delta, np.abs(V_new[x, y] - V_old[x, y]))
        V = V_new
        if delta < 1e-6:
            break
    return V

# 策略改进
def policy_improvement(V):
    policy = np.zeros((3, 3), dtype=int)
    for x in range(3):
        for y in range(3):
            state = (x, y)
            v_max = -float('inf')
            best_action = 0
            for action in actions:
                new_state, reward = get_transition_reward(state, action)
                v = reward + gamma * V[new_state]
                if v > v_max:
                    v_max = v
                    best_action = action
            policy[x, y] = best_action
    return policy

# 初始随机策略
policy = np.random.choice(len(actions), size=(3, 3))

while True:
    V = policy_evaluation(policy)
    new_policy = policy_improvement(V)
    if np.array_equal(policy, new_policy):
        break
    policy = new_policy

print("最优状态价值函数：")
print(V)
print("最优策略：（0上，1下，2左，3右）")
print(policy)

通过这段代码，小机器人就能用策略迭代算法，从一开始的随机走法，慢慢找到每个方格的最佳路线啦！

总结

贝尔曼最优公式是这个“游戏”的核心秘诀，它告诉我们怎么计算最聪明的玩法能得到多少奖励。值迭代算法就像小机器人不断试错找最佳路线，策略迭代算法就像小机器人先随便走，然后慢慢改进走法。这三个“魔法”都很厉害，在不同的游戏里（实际应用场景中），我们可以根据游戏的特点（问题的特点），选择合适的“魔法”，帮助小机器人（智能体）找到得到最多奖励的最佳路线（最优策略）！以后遇到其他好玩的“冒险游戏”（复杂的决策问题），我们也能用这些“魔法”轻松解决啦！