一. T检验模型

类别	适用场景	MATLAB 函数
单样本 t 检验	一个样本均值是否显著不同于某一固定值	ttest
独立样本 t 检验	两个独立组的均值是否有差异	ttest2
配对样本 t 检验	同一个对象前后比较（如治疗前后）	ttest with paired option

• 原假设（H₀）：两个群体的均值相等（μ₁=μ₂，城乡消费无差异）
• 备择假设（H₁）：两个群体的均值不相等（μ₁≠μ₂，城乡消费有差异）
• 判断标准：通过 p 值判断，若 p<0.05（显著性水平），则拒绝原假设，认为差异显著。

• normrnd(均值, 标准差, 样本规模)：生成服从正态分布的随机数（核心函数）

  • 参数 1（均值）：5000表示城市居民月均支出的理论均值为 5000 元；4500表示农村为 4500 元（提前设定的 “真实差异”）。
  • 参数 2（标准差）：800表示城市支出的离散程度（数据波动范围）；700表示农村的离散程度。
  • 参数 3（样本规模）：[30,1]表示生成 30 行 1 列的向量（30 个样本，符合 t 检验对样本量的基本要求）。
  • 输出：urban和rural是两个 30×1 的向量，分别存储 30 个城市居民和 30 个农村居民的模拟月均支出数据。

    % 2. 独立样本 t 检验
    [H, p, CI, stats] = ttest2(urban, rural);
    

  • ttest2：MATLAB 中用于独立样本 t 检验的内置函数（核心函数）
    • 输入参数：urban（第一个群体数据）、rural（第二个群体数据）
    • 输出参数（4 个关键结果）：
      • H：假设检验的决策结果（1 表示拒绝原假设，0 表示不拒绝）
      • p：p 值（判断差异是否显著的核心指标，越小越拒绝原假设）
      • CI：均值差的 95% 置信区间（若区间不包含 0，说明差异显著）

      • fprintf('t统计量 = %.3f\n', stats.tstat);
        fprintf('自由度 = %d\n', stats.df);
        fprintf('p值 = %.4f\n', p);

      • stats：检验的统计量集合（包含 t 值、自由度等）
      • stats.tstat：t 统计量，计算公式为 “（均值差）/（均值差的标准误）”，绝对值越大，说明实际均值差与 “原假设（差为 0）” 的偏离越显著。这里模拟数据的结果约为2.674。
      • stats.df：自由度，反映样本量对检验的影响（样本量越大，自由度越高，检验越灵敏）。这里两个群体各 30 个样本，自由度约为57（近似值）。
      • p：p 值，反映 “在原假设成立时，出现当前观测结果（或更极端结果）的概率”。这里模拟数据的 p 值约为0.0102（<0.05），因此拒绝原假设。

• mean(urban)：计算样本均值的函数（这里结果约为 5000 元）。
• histogram(urban, 'FaceColor', [0.2 0.6 0.8])：绘制样本数据的直方图，直观展示数据分布。
  • urban：要绘制分布的数据。
  • 'FaceColor', [0.2 0.6 0.8]：设置直方图的填充颜色（浅蓝色）。

二. F检验模型

✅ 应用场景：

检验目的	示例
比较两个总体方差	城市 vs 农村居民支出波动性
判断多组均值显著性差异	ANOVA 中使用 F 检验
检验回归模型是否显著	F 检验用于整体回归方程显著性

• var(urban)/var(rural)：计算样本方差的函数（这里城市方差≈640000，农村方差≈250000）。
• stats.fstat：F 统计量（核心统计量），计算公式为：
  F = 较大方差 / 较小方差
  这里 F = 640000/250000 ≈ 2.56（值越大，说明方差差异越显著）。

三. 一致性检验模型

用于判断多组评价、判断矩阵或评分是否存在逻辑矛盾；

核心原理：Kendall W 一致性检验

Kendall W 检验（也称为 Kendall 协调系数）用于衡量多个评价者对多个项目的评分一致性。例如：

• 多位评委对多位选手的排名是否一致
• 多位专家对多个方案的评分是否存在共识

1. 数据准备：评分矩阵——计算每个方案的总秩次—— 计算离差平方和 S

• S 的含义：衡量总秩次R的离散程度
  • R_mean是总秩次的平均值（这里为 7.5）
  • S是每个总秩次与平均值的差的平方和（这里计算得 25）
  • 关键逻辑：若专家评分高度一致，各方案的总秩次差异会很大，导致S值较大
• 不是说分数一致，而是排名一致（专家都认为A>B>C)

• • 评分 vs 排序
    Kendall W 检验关注的是排序一致性，而非具体分数。即使专家给出的分数不同，但只要排序一致（如专家 1 给 A 打 5 分、B 打 3 分；专家 2 给 A 打 8 分、B 打 4 分），W 系数仍为 1。

  • 数学原理
    当所有专家排序完全一致时，总秩次 R 会形成等差数列（如 3,6,9），此时离差平方和 S 达到最大。而当专家评分随机时，R 会趋近于平均值，S 趋近于 0。

计算 Kendall W 系数

W = 12 * S / (m^2 * (n^3 - n));

W 的含义：一致性系数，范围从 0 到 1

• W=0：专家评分完全随机，无一致性
• W=1：专家评分完全一致

卡方检验统计量与 p 值

1. 为什么需要卡方检验？
   Kendall W 只能告诉我们 “当前样本中专家的一致性程度”，但无法回答：
   “这种一致性是真实存在的规律（比如专家确实有共识），还是随机巧合（比如刚好这次打分碰巧一致）？”

   举个极端例子：如果只有 2 位专家、2 个方案，哪怕他们随机打分，也有 50% 概率完全一致（W=1）。这时的 W=1 显然是随机的，不能说明 “一致性显著”。

   卡方检验的作用就是通过概率判断：在 “专家打分完全随机（无真实一致性）” 的假设下，出现当前这么高的 W（或更高）的概率有多大？如果概率极低（p<0.05），就认为 “一致性不是随机的，而是真实存在的”。

四. Pearson相关性分析模型

过计算 Pearson 相关系数判断两者是否存在显著的线性关联，

• 功能：计算两个变量之间的相关系数，支持多种相关类型（Pearson、Spearman 等）。
• 输入参数：
  • study_time 和 score：需要分析相关性的两个变量（必须是同长度的向量）。
  • 'Type', 'Pearson'：指定计算 “Pearson 相关系数”（默认也是 Pearson，这里显式指定更清晰）。
• 输出参数：
  • R：Pearson 相关系数（取值范围 [-1,1]），用于描述线性相关的强度和方向：
    • 接近 1：强正相关（一个变量增大，另一个也增大）；
    • 接近 - 1：强负相关（一个变量增大，另一个减小）；
    • 接近 0：几乎无线性相关。
  • P：假设检验的 p 值，用于判断相关性是否 “显著”（而非随机误差导致）。

[R, P] = corr(study_time, score, 'Type', 'Pearson');

Pearson 相关系数适用于：

• 两个变量都是连续型数据（如学习时间、成绩，而非分类数据如 “性别”）；
• 数据近似符合正态分布（或样本量较大）；
• 重点分析线性关系（而非非线性关系，比如 “学习时间超过 10 小时后成绩不再提升” 的曲线关系）。

 五. Spearman相关性分析模型

✅ Pearson vs Spearman 相关性分析

特性	皮尔逊相关系数 (Pearson)	斯皮尔曼相关系数 (Spearman)
本质	度量线性相关性	度量秩次（排序）相关性
输入数据类型	连续数值型，最好近似正态分布	连续或有序分类变量，不要求正态性
对异常值敏感性	高（对极端值非常敏感）	低（因为只关心排名）
是否线性	是	不一定，也可检测单调非线性关系
常见应用	理论研究、回归、误差分析	调查数据、打分排名、稳健性检验等
MATLAB命令	corr(X, Y, 'Type', 'Pearson')	corr(X, Y, 'Type', 'Spearman')

Spearman 相关系数计算

[r_spearman, p_spearman] = corr(study_time, score, 'Type', 'Spearman');

 

• 函数 corr（再次调用）
  • 输入参数差异：'Type', 'Spearman' 指定计算 Spearman 相关系数（秩相关系数），用于衡量 单调关系程度（无论是否线性，只要变量变化趋势一致即可，如递增或递减）。
  • 计算逻辑：先将两个变量的原始值转换为 “秩次”（即排序后的名次，例如最小值为 1，次小值为 2…），再对秩次计算 Pearson 相关系数（本质是 “秩次的线性相关”）。
  • 输出参数：
    • r_spearman：Spearman 相关系数，取值范围 [-1,1]，绝对值越大表示单调相关越强。
    • p_spearman：Spearman 相关的 p 值，用于判断单调关系是否统计显著。

      

单调关系的核心是 “变化趋势一致”，不管变化幅度是否均匀（即不管是否线性）。

为什么 “秩次” 能捕捉单调关系？

秩次（排序后的名次）的核心作用是：忽略原始数据的 “具体数值差异”，只保留 “顺序关系”

Spearman 系数的含义：本质是 “顺序一致性” 的量化

Spearman 系数（r_s）的取值范围是 [-1,1]，它直接对应 “原始变量顺序关系的一致性”：

• r_s = 1：完全正单调关系 —— 两个变量的秩次严格同步（学习时间第 k→成绩第 k）。
• r_s = -1：完全负单调关系 —— 两个变量的秩次严格反向（学习时间第 k→成绩第 n+1-k，n 为样本量）。
• r_s = 0：无单调关系 —— 两个变量的秩次完全随机，没有稳定的顺序对应。
• 0 < r_s < 1：存在一定正单调关系（顺序一致性越高，r_s 越接近 1）。
• -1 < r_s < 0：存在一定负单调关系（顺序反向一致性越高，r_s 越接近 - 1）。
• 线性关系是 “最严格” 的顺序一致性（不仅趋势一致，连幅度都固定）；而顺序一致性是 “更宽松” 的关系（只看趋势，不管幅度）。
  这也是为什么斯皮尔曼相关系数能衡量所有单调关系（包括线性和非线性单调），而皮尔逊相关系数只能衡量线性关系 —— 前者的适用范围更广，后者更 “挑剔”。