Critic 头更新的关键公式及其解释

1. 价值目标 (Value Target) 的计算

Critic 需要一个“正确答案”来学习，这个“正确答案”就是 价值目标 ${\hat{V}}_t$。

A. N步回报 (N-step Return) 价值目标：

$${\hat{V}}_t=r_t+\gamma r_{t+1}+\cdots +{\gamma }^{N-1}{r}_{t+N-1}+{\gamma }^N{V}_{{\varphi }_{old}}(s_{t+N})$$

• ${\hat{V}}_t$: 对于时间步 $t$ 状态 $s_t$ 的 估计价值目标。这是Critic试图去拟合的“真值”。
• $r_t,r_{t+1},\dots ,r_{t+N-1}$: 在接下来的 $N$ 步内，智能体从环境中获得的 实际奖励。这是“蒙特卡洛”部分，是真实观察到的。
• $\gamma$: 折扣因子 (Discount Factor)，范围 $[0,1]$。它决定了未来奖励在当前价值中的重要性。$\gamma$ 越接近 1，未来奖励的影响越大；越接近 0，智能体越只关注即时奖励。
• ${\gamma }^N$: 经过 $N$ 步后的折扣系数。
• $V_{{\varphi }_{old}}(s_{t+N})$: 旧的 Critic 网络 ${\varphi }_{old}$ 对未来状态 $s_{t+N}$ 的 预测价值。这是“时间差分 (TD)”或“引导 (Bootstrapping)”部分。
  • 作用：在轨迹结束前，用Critic的预测值来估计从 $s_{t+N}$ 之后所有未来的期望回报。它弥补了我们没有观测到 $N$ 步之后所有真实奖励的不足，使得智能体能够从部分轨迹中学习。使用 ${\varphi }_{old}$ 是为了在当前批次训练中，目标值相对稳定，避免“追逐一个移动的目标”。

B. 广义优势估计 (Generalized Advantage Estimation, GAE) 导出的价值目标：

当使用 GAE 计算优势函数 $A_t$ 时，通常会推导出一个对应的价值目标 ${\hat{V}}_t$。一种常见的形式是：

$${\hat{V}}_t=A_t+V_{{\varphi }_{old}}(s_t)$$

• ${\hat{V}}_t$: 同样是对于时间步 $t$ 状态 $s_t$ 的 估计价值目标。
• $A_t$: 通过 GAE 算法 计算得到的优势估计。GAE 结合了 N 步 TD 的不同步长优势，通过一个额外的参数 $\lambda$ 在偏差和方差之间进行权衡，提供了一个更稳定、更优的优势估计。
• $V_{{\varphi }_{old}}(s_t)$: 旧的 Critic 网络 ${\varphi }_{old}$ 对 当前状态 $s_t$ 的预测价值。
• 作用：将当前状态的基线价值与该状态下执行动作的优势相加，直观上得到的是执行该动作后的总期望回报。GAE 提供的 $A_t$ 本身就包含了未来奖励和价值预测的组合，因此这种方式形成的 ${\hat{V}}_t$ 往往比简单的 N 步回报更稳定、方差更低。

2. Critic 损失函数 (Loss Function)

Critic 训练的目标是让它的预测值 $V_{\varphi }(s)$ 尽可能接近计算出的价值目标 $\hat{V}$。

$$L_{critic}(\varphi )=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^M(V_{\varphi }(s_i)-{\hat{V}}_i{)}^2$$

• $L_{critic}(\varphi )$: Critic 网络的 损失函数，其值取决于Critic网络的参数 $\varphi$。我们的目标是最小化这个损失。
• $\frac{1}{M}{\sum }_{i=1}^M$: 对一个训练批次 (batch) 中 $M$ 个样本求 平均。确保损失值不随批次大小变化而显著改变。
• $V_{\varphi }(s_i)$: 当前 (正在训练的) Critic 网络 对状态 $s_i$ 的 预测价值。这是网络的输出。
• ${\hat{V}}_i$: 在上述步骤中计算出的 价值目标（N步回报或GAE等）。这是网络的“正确答案”输入。
• $(\dots {)}^2$: 平方项。这是一种常见的误差度量方式，称为 均方误差 (Mean Squared Error, MSE)。
  • 作用：将误差值变为正数，并对较大的误差给予更大的惩罚（例如，误差为2的惩罚是误差为1的四倍）。通过最小化这个平方误差，我们使得 $V_{\varphi }(s_i)$ 逐渐收敛到 ${\hat{V}}_i$。

通过对这个损失函数求梯度并更新 Critic 网络的参数 $\varphi$，Critic 网络就能不断学习并提供更准确的状态价值估计。