TDPO（Token-level Direct Preference Optimization)

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1. 研究背景

痛点	说明
DPO 句子级 KL	只在完整回答上算 KL，无法细粒度控制逐 token 的偏离。
KL 增长失衡	图1 显示，DPO 在 dis-preferred 回答上的 SeqKL 增长更快，导致分布差异越拉越大。
多样性下降	反向 KL 的“mode-seeking”特性限制了生成多样性。

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2. TDPO 核心思想

1. 把 RLHF 任务拆成 token-level MDP

• 状态：prompt + 已生成的 token
• 动作：下一个 token
• 奖励：$r_t=R([x,y_{<t}],y_t)$

2. 用 Bellman 方程把句子奖励
   $r(x,y)={\sum }_{t=1}^T{\gamma }^{t-1}{r}_t$

3. 在 token 上同时引入

• 反向 KL（防止整体偏离）
• 正向 SeqKL（抑制 dis-preferred 回答的 KL 暴涨）

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3. 关键公式速览

名称	LaTeX	说明
token 级目标	${\max }_{{\pi }_{\theta }}{\mathbb{E}}_{x,y_{<t},z}[A^{{\pi }_{\text{ref}}}-\beta D_{\text{KL}}({\pi }_{\theta }\Vert {\pi }_{\text{ref}}\left)\right]$	TRPO 风格
最优策略	${\pi }^{\ast }(z,y_{<t})\propto {\pi }_{\text{ref}}(z,y_{<t})\exp (\frac{1}{\beta }{Q}^{{\pi }_{\text{ref}}}(y_{<t},z))$
BT-token 模型	$P(y_1\succ y_2,x)=\sigma (u-\delta )$
$u$ 与 $\delta$	$u=\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y_1)}{{\pi }_{\text{ref}}(y_1)}-\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y_2)}{{\pi }_{\text{ref}}(y_2)}$ $\delta =\beta D_{\text{SeqKL}}(y_2)-\beta D_{\text{SeqKL}}(y_1)$	奖励差+KL差

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4. 损失函数

论文给出 两个版本：

版本	公式	特色
TDPO1	$-\mathbb{E}\log \sigma (u-\delta )$	双向 KL 同时约束
TDPO2	$-\mathbb{E}\log \sigma (u-\alpha {\delta }_2)$ ${\delta }_2$ 用 stop-gradient 保护 preferred KL	防止 preferred 回答 KL 被拉高

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5. 实验结果

数据集	指标	结论
IMDb	Reward vs SeqKL Frontier	TDPO2 优于 DPO、f-DPO，更高奖励 + 更低 KL
Anthropic-HH	对齐准确率 & 熵	TDPO2 同时提升 准确率 67.3% 和 熵 4.915
MT-Bench	GPT-4 打分	TDPO2 vs DPO：60.4% 胜 28.8% 平 10.8% 负

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6. 代码片段（PyTorch）

def tdpo_loss(pi_logits, ref_logits, yw_idxs, yl_idxs,
              labels, beta=0.1, alpha=0.5, if_tdpo2=True):
    pi_logp = pi_logits.log_softmax(-1).gather(-1, labels.unsqueeze(-1)).squeeze(-1)
    ref_logp = ref_logits.log_softmax(-1).gather(-1, labels.unsqueeze(-1)).squeeze(-1)

    # per-token KL
    kl = (ref_logits.softmax(-1) * (ref_logits.log_softmax(-1) - pi_logits.log_softmax(-1))).sum(-1)

    yw_kl, yl_kl = kl[yw_idxs], kl[yl_idxs]

    u = beta * (pi_logp[yw_idxs] - ref_logp[yw_idxs]) \
        - beta * (pi_logp[yl_idxs] - ref_logp[yl_idxs])

    if if_tdpo2:
        delta = beta * yl_kl - beta * yw_kl.detach()
    else:
        delta = beta * yl_kl - beta * yw_kl

    loss = -F.logsigmoid(u - alpha * delta)
    return loss

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7. 总结

TDPO = 把 DPO 的“句子级 KL”拆成“token 级 KL”，再叠一个正向 SeqKL 差分，既对齐人类偏好，又压住 KL 暴涨，实验全面优于 DPO & PPO。

8. 附录

公式1是怎么推导出公式2的呢？

✅ 1 写出带 KL 的目标（公式 1）

${\max }_{{\pi }_{\theta }}{\mathbb{E}}_{x\sim \mathcal{D}}{\mathbb{E}}_{y\sim {\pi }_{\theta }(\cdot |x)}[r(x,y)-\beta D_{\mathrm{KL}}({\pi }_{\theta }(\cdot |x)\Vert {\pi }_{\mathrm{ref}}(\cdot |x)\left)\right]$

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✅ 2 把 KL 写成期望形式

$D_{\mathrm{KL}}({\pi }_{\theta }\Vert {\pi }_{\mathrm{ref}})={\mathbb{E}}_{y\sim {\pi }_{\theta }}\left[\log \frac{{\pi }_{\theta }(y|x)}{{\pi }_{\mathrm{ref}}(y|x)}\right]$

代入后得到

${\max }_{{\pi }_{\theta }}{\mathbb{E}}_{x,y\sim {\pi }_{\theta }}[r(x,y)-\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y|x)}{{\pi }_{\mathrm{ref}}(y|x)}]$

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✅ 3 用变分法求最优策略

令目标函数为

$J(\pi )={\mathbb{E}}_{x,y\sim \pi }[r(x,y)-\beta \log \frac{\pi (y|x)}{{\pi }_{\mathrm{ref}}(y|x)}]$

在约束

${\sum }_y\pi (y|x)=1$

下对 ($\pi$) 做 拉格朗日乘子法，得到

${\pi }^{\ast }(y|x)\propto {\pi }_{\mathrm{ref}}(y|x)\exp (\frac{1}{\beta }r(x,y))$

归一化后

${\pi }^{\ast }(y|x)=\frac{{\pi }_{\mathrm{ref}}(y|x)\exp (\frac{1}{\beta }r(x,y))}{{\sum }_{y^{\prime }}{\pi }_{\mathrm{ref}}(y^{\prime }|x)\exp (\frac{1}{\beta }r(x,y^{\prime }))}$

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✅ 4 反解奖励函数（得到公式 2）

把上式两边取对数并乘 ($\beta$)：

$\beta \log \frac{{\pi }^{\ast }(y|x)}{{\pi }_{\mathrm{ref}}(y|x)}=\beta \log \frac{1}{Z(x)}+r(x,y)$

其中

$Z(x)={\sum }_{y^{\prime }}{\pi }_{\mathrm{ref}}(y^{\prime }|x)\exp (\frac{1}{\beta }r(x,y^{\prime }))$

因此

$r(x,y)=\beta \log \frac{{\pi }^{\ast }(y|x)}{{\pi }_{\mathrm{ref}}(y|x)}+\beta \log Z(x)$

这就是公式 (2)。