仿射变换的定义与特点

仿射变换（Affine Transformation）是线性变换（如旋转、缩放、剪切）与平移变换的组合，保持直线的平行性和比例关系。数学上可表示为：

[ \begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \ f \end{pmatrix} ]

其中，矩阵 (\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}) 控制线性变换，向量 (\begin{pmatrix} e \ f \end{pmatrix}) 控制平移。

关键特性：

• 保持直线和平行性。
• 不保持角度和长度（除非是等距变换）。
• 包含平移、旋转、缩放、反射和剪切。

映射变换的定义与特点

映射变换（Projective Transformation/Homography）是更一般的变换，用于描述三维空间到二维平面的投影或不同视角间的转换。数学上表示为齐次坐标下的线性变换：

[ \begin{pmatrix} x' \ y' \ w' \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} \ h_{21} & h_{22} & h_{23} \ h_{31} & h_{32} & h_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ 1 \end{pmatrix} ]

最终坐标需除以 (w') 得到 ((x'/w', y'/w'))。

关键特性：

• 保持直线的共线性，但不保持平行性。
• 可模拟透视效果（如远小近大）。
• 需要至少4对点求解（仿射变换仅需3对）。

核心区别对比

自由度：

• 仿射变换：6个自由度（矩阵4个参数+平移2个参数）。
• 映射变换：8个自由度（齐次矩阵的9个参数中比例因子固定）。

几何保持性：

• 仿射变换：平行线在变换后仍平行。
• 映射变换：平行线可能相交（如铁轨的透视效果）。

应用场景：

• 仿射变换：适用于物体刚体运动或平面形变（如图像平移、旋转）。
• 映射变换：适用于视角变换、三维投影（如全景拼接、AR标记识别）。

实际应用示例

仿射变换：

• 图像矫正：调整扫描文档的倾斜。
• 2D动画：对图形进行平移和旋转。

映射变换：

• 虚拟现实：将纹理映射到三维模型表面。
• 相机标定：校正镜头畸变后的透视投影。

数学联系

仿射变换是映射变换的特例（当 (h_{31}=h_{32}=0) 且 (h_{33}=1) 时）。两者均可通过矩阵运算实现，但映射变换需处理齐次坐标的非线性除法步骤。