引言

Word2Vec 是一种将词语映射到低维实数向量空间的词向量生成模型，由谷歌团队的 Mikolov 等人于 2013 年提出。它的核心价值在于解决了传统 one-hot 编码维度灾难和语义孤立的问题，通过分布式表示让词向量具备语义关联性，极大推动了自然语言处理（NLP）领域的发展。如今，Word2Vec 在文本分类、情感分析、机器翻译等众多任务中都有着广泛应用，掌握其原理与实践方法对理解现代 NLP 技术至关重要。本文将从原理介绍、代码实现以及应用等方面全面解析 Word2Vec。

1. 神经网络模型

Word2Vec 的核心是浅层神经网络模型，其设计初衷是通过训练过程学习词语的分布式表示。该网络由输入层、隐藏层和输出层构成，结构简洁却能高效捕捉词语间的语义关联。

（1）网络结构

• 输入层：接收词语的离散表示（通常是 one-hot 编码）。对于包含 V 个词的词汇表，每个词语的 one-hot 向量维度为 V×1。
• 隐藏层：无激活函数的线性层，其权重矩阵 $\mathbf{W}$（维度为 V×d，d 为词向量维度）是训练的核心目标。当输入词的 one-hot 向量与 $\mathbf{W}$ 相乘时，等价于从矩阵中 “提取” 对应行的向量 —— 这就是我们最终需要的词向量。
• 输出层：通常采用 softmax 函数（或其近似方法），输出对目标词的概率分布。对于输入的上下文（或中心词），输出层会给出词汇表中每个词作为目标词的概率，即 $P(w_t|Context)$ 或 $P(Context|w_t)$。（输入上下文还是中心词对应两种方法，后面会讲到）

（2）训练目标

神经网络的训练目标是最大化预测正确目标词的概率。通过反向传播算法不断调整隐藏层权重矩阵 $\mathbf{W}$，使预测结果尽可能接近真实标签（即语料中实际出现的目标词）。用数学表示为最小化以下损失函数：
$$L=-\sum _t\log P(w_{target}|w_{input})$$其中 $t$ 代表语料里的每个训练对, $w_{input}$是输入层的词语（上下文或中心词），$w_{target}$是语料中对应的目标词。

【一些答疑】
1、为什么用对数： 语料里有多个训练对，每个对的预测概率是 $P_1,P_2,P_3,...$。我们希望所有概率的乘积尽可能大，但直接乘会有两个问题：一是概率本身是 0~1 之间的数，多个相乘会越来越小，容易出现「数值下溢」（电脑算不清极小值）。二是乘法计算比加法麻烦，尤其是大量样本时。而对数能把乘法转成加法（$\log (P_1\times P_2)=\log P_1+\log P_2$），还能保持 “大小趋势一致”（比如 $P_1\times P_2$ 越大，$\log P_1+\log P_2$ 也越大）。所以可以把 “最大化概率乘积”，转成 “最大化对数的和”。
2、为什么用负号： 在机器学习里，我们习惯最小化损失函数（损失越小，模型越好）。但刚才的对数和是 “越大越好”（对应概率乘积越大），所以加个负号，把 “最大化概率” 转成 “最小化损失”（损失越小，对数和越大，概率乘积也越大）。

（3）与词向量的关系

训练完成后，隐藏层权重矩阵 $\mathbf{W}$ 的每一行即为对应词语的词向量。这一过程的本质是：网络通过学习 “词语在何种语境中出现” 的规律，将离散的词语映射到 d 维连续空间，使语义相近的词在空间中距离更近。

与深层神经网络不同，Word2Vec 采用单隐藏层设计，这是为了在保证语义捕捉能力的同时，大幅提升训练效率 —— 毕竟其核心目标是学习词向量，而非复杂的特征提取。

2. Word2Vec 架构

2.1 CBOW 模型：用上下文预测中心词

CBOW（Continuous Bag-of-Words）模型通过上下文词语来预测中心词。

（1）网络结构

• 输入层：接收多个上下文词的 one-hot 向量（比如中心词左右各取 n 个词，共 2n 个输入，我们把 n 叫作窗口大小）。
• 隐藏层：将多个上下文词的词向量求和（或平均），压缩成一个统一的语义表示。
• 输出层：通过 Softmax 函数，计算每个词作为中心词的概率，输出最可能的预测结果。

（2）模型实例

假设语料库只有一个句子： “小狗 追 蝴蝶”，设定 窗口大小为 1（中心词 “追” 的左右各取 1 个词，即上下文词是 “小狗” 和 “蝴蝶”）。接下来模拟 CBOW 的完整流程：

▶ 步骤 1：构建词汇表与 one-hot 编码

首先，从语料中提取所有唯一词，构建 词汇表（下面演示仅包含示例词）：
$$V=[\text{小狗},\text{追},\text{蝴蝶},\text{跑},\text{跳}]$$共 5 个词，对应索引 0~4。
每个词用 one-hot 向量 表示（只有自身索引位置为 1，其余为 0），例如：

• 小狗 → [1, 0, 0, 0, 0]（索引 0）
• 蝴蝶 → [0, 0, 1, 0, 0]（索引 2）

▶ 步骤 2：输入权重矩阵 → 提取词向量

CBOW 的 输入权重矩阵 $\mathbf{W}$ 是 V×d 维度（V=5，假设词向量维度 d=3，方便计算）。它的每一行对应一个词的初始词向量（训练前随机初始化，训练后会学到语义）。

假设初始 $\mathbf{W}$ 如下（数值随机设定，仅作演示）：
$$\mathbf{W}=\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0.5& 0.1\\ 0.3& 0.7& 0.2\\ 0.4& 0.6& 0.3\\ 0.1& 0.4& 0.5\\ 0.5& 0.2& 0.4\end{array}\right]$$然后通过上下文词 “小狗” 和 “蝴蝶” 的 one-hot 向量从 $\mathbf{W}$ 中提取词向量：

• 小狗的词向量：$\mathbf{W}$ 的第 0 行 → [0.2, 0.5, 0.1]

• 蝴蝶的词向量：$\mathbf{W}$ 的第 2 行 → [0.4, 0.6, 0.3]

▶ 步骤 3：聚合上下文语义（求和）

CBOW 会将 所有上下文词的词向量相加，合并成一个统一的语义表示（也可以求平均，效果类似）：
$$\mathbf{h}=\text{小狗的词向量}+\text{蝴蝶的词向量}=[0.6,1.1,0.4]$$这一步的意义是 “把多个上下文词的语义‘捏合’成一个整体”，让模型学习 “小狗” 和 “蝴蝶” 共同的上下文特征。

▶ 步骤 4：输出层 → 预测中心词概率

CBOW 的 输出权重矩阵 ${\mathbf{W}}^{\prime }$ 是 d×V 维度（d=3，V=5），每一列对应一个词的 输出权重（辅助计算预测概率）。

假设初始 ${\mathbf{W}}^{\prime }$ 如下（列对应词汇表索引 0~4）：
$${\mathbf{W}}^{\prime }=\left[\begin{array}{ccccc}0.8& 0.1& 0.3& 0.2& 0.5\\ 0.4& 0.9& 0.2& 0.6& 0.3\\ 0.2& 0.3& 0.7& 0.8& 0.1\end{array}\right]$$① 计算 V 个词的预测 “得分”：
对于每个词（包括中心词 “追”），计算 语义表示 $\mathbf{h}$ 与 ${\mathbf{W}}^{\prime }$ 对应列的点积，得到 “得分” $u$（得分越高，模型认为该词越可能是中心词），得到每个词为中心词的得分 $u$ 如下：

② Softmax 转概率：让得分 “归一化”

得分本身没有概率意义，需通过 Softmax 函数 转成[0,1]之间的概率（所有词的概率和为 1）：
$$P(w\mid \text{小狗, 蝴蝶})=\frac{\exp (u_w)}{{\sum }_{w^{\prime }\in V}\exp (u_{w^{\prime }})}$$计算“追”为中心词概率为：

$$P(\text{追}\mid \text{小狗，蝴蝶})\approx \frac{\exp (1.17)}{{\sum }_{w\in V}\exp (u_w)}\approx 25.05\%$$

▶ 步骤 5：训练优化：让预测更准确

此时模型预测 “追” 的概率只有 25.05%，显然不够理想。训练的核心是最小化损失函数（回顾公式）：
$$L=-\log P(\text{追}\mid \text{小狗, 蝴蝶})$$通过反向传播，模型会调整 $\mathbf{W}$（输入权重，最终生成词向量）和 ${\mathbf{W}}^{\prime }$（输出权重，用于计算中心词概率）的数值，让下次预测时，“追” 的概率更高，损失 L 更小。

2.2 Skip-gram 模型：用中心词预测上下文

Skip-gram 与 CBOW 的逻辑完全相反：它以单个中心词为输入，预测周围所有上下文词（“一对多”模式）。这种设计让模型更擅长捕捉低频词的语义（哪怕词出现次数少，只要有上下文，就能生成训练样本）。

（1）网络结构

• 输入层：接收单个中心词的 one-hot 向量（维度为词汇表大小 V）。
• 隐藏层：无激活函数，直接将 one-hot 向量映射为词向量（维度 d）。
• 输出层：通过 Softmax 函数，输出每个词作为上下文词的概率（维度 V）。

（2）模型实例

假设语料库只有一个句子： “小狗 追 蝴蝶”，以 “追” 预测 “小狗” 和 “蝴蝶” 为例，接下来模拟 Skip-gram 的完整流程：

▶ 步骤1：中心词的one-hot编码

延续CBOW的词汇表设定：
$$V=[\text{小狗},\text{追},\text{蝴蝶},\text{跑},\text{跳}]$$ 中心词“追”的 one-ho t向量为：$[0,1,0,0,0]$

▶ 步骤2：提取中心词的词向量

输入权重矩阵 $\mathbf{W}$ 与 CBOW 共享结构（维度 V×d，d=3，延续之前的示例参数）。
$$\mathbf{W}=\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0.5& 0.1\\ 0.3& 0.7& 0.2\\ 0.4& 0.6& 0.3\\ 0.1& 0.4& 0.5\\ 0.5& 0.2& 0.4\end{array}\right]$$中心词“追”的词向量是 $\mathbf{W}$ 的 第1行：
$$\mathbf{h}=W[1,:]=[0.3,0.7,0.2]$$

▶ 步骤3：预测多个上下文词（“一对多”的核心）

Skip-gram 的输出层，需要为每个上下文词单独计算概率（因为中心词“追”要同时预测“小狗”和“蝴蝶”两个词）。输出权重矩阵 ${\mathbf{W}}^{\prime }$ 仍为 d×V（列对应词汇表索引）。
$${\mathbf{W}}^{\prime }=\left[\begin{array}{ccccc}0.8& 0.1& 0.3& 0.2& 0.5\\ 0.4& 0.9& 0.2& 0.6& 0.3\\ 0.2& 0.3& 0.7& 0.8& 0.1\end{array}\right]$$ ① 计算 V 个词的预测 “得分”：
对于每个词（包括上下文词“小狗”和“蝴蝶”），计算语义表示 $\mathbf{h}$ 与 ${\mathbf{W}}^{\prime }$ 对应列的点积，得到 “得分” $u$（得分越高，模型认为该词越可能是上下文词），得到每个词为上下文词的得分 $u$ 如下：

② Softmax 转概率：让得分 “归一化”

得分本身没有概率意义，需通过 Softmax 函数 转成[0,1]之间的概率（所有词的概率和为 1）：
$$P(w\mid \text{追})=\frac{\exp (u_w)}{{\sum }_{w^{\prime }\in V}\exp (u_{w^{\prime }})}$$计算“小狗”和“”蝴蝶为上下文词概率为：

$$P(\text{小狗}\mid \text{追})=\frac{\exp (0.56)}{{\sum }_{w\in V}\exp (u_w)}\approx 20.3\%$$$$P(\text{蝴蝶}\mid \text{追})\approx \frac{\exp (0.37)}{{\sum }_{w\in V}\exp (u_w)}\approx 16.8\%$$

▶ 步骤4：训练逻辑：让所有上下文词都“猜中”

Skip-gram的损失函数，是 所有上下文词的对数概率之和的负数（因为一个中心词对应多个目标词）：
$$L=-\sum _{\text{上下文词}}\log P(\text{上下文词}\mid \text{中心词})$$ 以当前示例为例：
$$L\approx -\left[\log (0.203)+\log (0.168)\right]\approx -\left[-0.69-0.77\right]=1.46$$ 训练时，反向传播会调整 ${\mathbf{W}}^{\prime }$（中心词的词向量）和 $\mathbf{W}$（输出权重），让 所有上下文词的预测概率都提升，最终降低损失L。

2.3 Skip-gram vs CBOW

维度	Skip-gram	CBOW
输入输出	1个中心词 → N个上下文词	N个上下文词 → 1个中心词
数据利用	低频词友好（1次出现→N个样本）	高频词友好（N个词→1个样本）
计算成本	高（每个中心词对应多个目标）	低（多个词合并为一个目标）
语义捕捉	更细粒度（擅长低频词关联）	更偏向整体语境（依赖高频共现）

Skip-gram的“一对多”模式，让 低频词也能通过少量出现次数，生成足够多的训练样本（比如“量子”很少见，但只要出现一次，其上下文“物理”“力学”都会成为预测目标）。因此：

• ✅ 适合场景：专业领域语料（如论文）、生僻词多的文本（如诗歌）。
• ❌ 不适合场景：高频词主导的大规模语料（如新闻），CBOW效率更高。

但Skip-gram的计算量天生更高（每个中心词要预测多个上下文词），需依赖 Hierarchical Softmax 或 Negative Sampling 等优化技巧（后续章节会详细解析）。

2.4 优化策略——Hierarchical Softmax：给输出层“瘦身”

Hierarchical Softmax 是一种用于解决词表过大导致计算量庞大的方法。普通 Softmax 计算概率时，需遍历整个词汇表（复杂度 $\mathbf{O}(\mathbf{V})$），当词汇表达10万级时，计算量会爆炸。Hierarchical Softmax（分层Softmax） 用 二叉树 替代全连接层，将复杂度降至 $\mathbf{O}(\log \mathbf{V})$，是 Word2Vec 高效训练的核心技巧。

① 为什么需要它？——普通Softmax的致命缺陷
假设词汇表有 $V=10^5$ 个词，词向量维度 $d=300$：

• 输出权重矩阵 $W^{\prime }$ 的规模是 $300\times 10^5=3\times 10^7$（参数多）。
• 计算Softmax时，需对 10万个词 分别计算 $\exp (u_w)$ 并求和（时间长）。

当 $V$ 很大时，这会导致 训练慢到无法接受。

② 核心思路：用二叉树替代全连接层
Hierarchical Softmax 的核心是 把“多分类问题”拆解成一系列“二分类问题”：

• 叶子节点：对应词汇表的所有词（共 $V$ 个）。
• 内部节点：每个节点代表一次二分类（左子树 vs 右子树），并维护一个参数向量 $\mathbf{\theta }$（维度 $d$）。

③ 构建哈夫曼树：让高频词“走捷径”
为了加速，二叉树通常采用 哈夫曼树（按词的频率构建，高频词的路径更短）。以之前的词汇表 [小狗, 追, 蝴蝶, 跑, 跳] 为例，假设语料中词频：

• 追（100次）> 小狗（60次）= 蝴蝶（60次）> 跑（30次）= 跳（30次）

构建的哈夫曼树结构（简化示例，仅演示路径）：

          根节点（θ₀）
         /        \
        /          \
       追（叶）   内部节点A（θ₁）
                  /        \
                 /          \
           小狗（叶）     内部节点B（θ₂）
                          /        \
                         /          \
                   蝴蝶（叶）      内部节点C（θ₃）
                                  /        \
                                 跑（叶）   跳（叶）

④ 概率计算：沿着路径“走”出来
以 中心词“追”预测上下文词“小狗” 为例，步骤如下：

1. 确定路径：从根节点到“小狗”的路径是 根 → 内部节点A → 小狗（假设根节点右子树到内部节点A，内部节点A左子树到小狗）。

2. 每一步的二分类概率：
   每个内部节点 $n$ 的参数 ${\mathbf{\theta }}_n$ 与隐藏层向量 $\mathbf{h}$ 做内积，通过 sigmoid函数 计算“走左子树（概率 $p$）”或“右子树（概率 $1-p$）”：
   $$p(n,\text{左})=\sigma ({\mathbf{h}}^{\top }\cdot {\mathbf{\theta }}_n),p(n,\text{右})=1-\sigma ({\mathbf{h}}^{\top }\cdot {\mathbf{\theta }}_n)$$

$\sigma (x)=1/(1+e^{-x})$，将结果压缩到 $(0,1)$

3. 路径概率相乘：
   “小狗”的最终概率是 路径上所有二分类概率的乘积：
   $$P(\text{小狗}\mid \text{追})=p(\text{根},\text{右})\times p(\text{内部节点A},\text{左})$$

⑤ 对比：普通Softmax vs Hierarchical Softmax

维度	普通Softmax	Hierarchical Softmax
时间复杂度	$O(V)$（遍历全表）	$O(\log V)$（遍历树高）
空间复杂度	$O(dV)$（参数多）	$O(d\cdot \log V)$（参数少）
适用场景	小词汇表（$V<1万$）	大词汇表（$V>10万$）

关键局限：
Hierarchical Softmax依赖 词频统计 构建哈夫曼树，若语料中 低频词实际语义重要（如专业术语），可能因路径长导致训练不足。此时，Negative Sampling（负采样） 更灵活（在下一小节介绍）。

2.5 优化策略——Negative Sampling：用“抽样”替代“全算”

负采样（Negative Sampling） 是另一种提高训练效率的方法。它不再计算所有词的概率，而是每次从词表中随机采样少量负例（与当前上下文无关的词），通过最大化正例（中心词与上下文词的共现）的概率和最小化负例的概率来训练模型。
① 为什么需要它？——Softmax的“无效计算”
假设中心词是“追”，真实上下文是“小狗”和“蝴蝶”：

• 普通Softmax要计算 所有5万个词 的概率（哪怕99%的词和“追”无关）。
• 这些“无关词”的计算完全是 浪费算力。

负采样的核心：只计算“正样本（真实上下文）”和“少量负样本（随机采样的无关词）”，其他词直接忽略。

② 核心思想：把“多分类”拆成“多个二分类”
对每个训练样本（中心词 $w_c$ + 上下文词 $w_o$）：

• 正样本：$(w_c,w_o)$ → 模型应预测“相关”（概率接近1）。
• 负样本：随机选 $k$ 个词 $w_1,w_2,...,w_k$ → 模型应预测“不相关”（概率接近0）。

通过 sigmoid函数 处理二分类概率，损失函数只需计算这 $1+k$ 个样本。

③ 如何选负样本？——按词频“偏采样”
直接随机选负样本会有问题：高频词（如“的”“是”）会被频繁选中，但它们和任何词都可能共现，导致模型学不到有效特征。

Word2Vec采用 “词频的3/4次方”采样（公式化表述为 $P(w)\propto \text{freq}(w{)}^{3/4}$）：

• 高频词的采样概率被 适度降低（避免过度采样）。
• 低频词的采样概率被 适度提高（避免永远选不到）。

举个例子（词汇表词频：追(100)、小狗(60)、蝴蝶(60)、跑(30)、跳(30)）：

• 原始概率：追(100/280)≈35.7%，小狗(60/280)≈21.4%…
• 3/4次方后：追(100^0.75≈31.6)、小狗(60^0.75≈22.7)… 重新归一化后，高频词占比下降，低频词占比上升。

④ 损失函数推导：只算正+负样本
对正样本 $(w_c,w_o)$，模型预测“相关”的概率用sigmoid表示：
$$P(\text{正})=\sigma ({\mathbf{v}}_{w_o}^T\cdot {\mathbf{v}}_{w_c})$$
（${\mathbf{v}}_{w_o}$ 是上下文词向量，${\mathbf{v}}_{w_c}$ 是中心词向量；$\sigma (x)=1/(1+e^{-x})$，将结果压缩到 $[0,1]$ 区间）

对每个负样本 $w_n$，模型预测“不相关”的概率：
$$P(\text{负})=\sigma (-{\mathbf{v}}_{w_n}^T\cdot {\mathbf{v}}_{w_c})$$

最终损失函数（最小化负对数似然，让正样本概率高、负样本概率低）：
$$L=-\log \sigma ({\mathbf{v}}_{w_o}^T\cdot {\mathbf{v}}_{w_c})-\sum _{w_n\in \text{负样本}}\log \sigma (-{\mathbf{v}}_{w_n}^T\cdot {\mathbf{v}}_{w_c})$$
⑤ 示例：用负采样重新计算“追→小狗”的损失
假设：

• 正样本：$(w_c=\text{追},w_o=\text{小狗})$
• 负样本：随机选2个词（跑、跳，按词频3/4次方采样）
• 中心词向量 ${\mathbf{v}}_{\text{追}}=[0.3,0.7,0.2]$
• 上下文词向量：
  • ${\mathbf{v}}_{\text{小狗}}=[0.2,0.5,0.1]$（正样本）
  • ${\mathbf{v}}_{\text{跑}}=[0.1,0.4,0.5]$（负样本1）
  • ${\mathbf{v}}_{\text{跳}}=[0.5,0.2,0.4]$（负样本2）

正样本概率计算：
$${\mathbf{v}}_{\text{小狗}}^T\cdot {\mathbf{v}}_{\text{追}}=0.2\times 0.3+0.5\times 0.7+0.1\times 0.2=0.06+0.35+0.02=0.43$$
$$\sigma (0.43)\approx 0.606\Rightarrow \log (0.606)\approx -0.498$$

负样本概率计算：

• 跑（负样本1）：
  $${\mathbf{v}}_{\text{跑}}^T\cdot {\mathbf{v}}_{\text{追}}=0.1\times 0.3+0.4\times 0.7+0.5\times 0.2=0.03+0.28+0.1=0.41$$
  $$\sigma (-0.41)\approx 0.399\Rightarrow \log (0.399)\approx -0.917$$

• 跳（负样本2）：
  $${\mathbf{v}}_{\text{跳}}^T\cdot {\mathbf{v}}_{\text{追}}=0.5\times 0.3+0.2\times 0.7+0.4\times 0.2=0.15+0.14+0.08=0.37$$
  $$\sigma (-0.37)\approx 0.410\Rightarrow \log (0.410)\approx -0.892$$

总损失：
$$L=-(-0.498)-[(-0.917)+(-0.892)]=0.498+1.809=2.307$$

⑥ Negative Sampling vs Hierarchical Softmax

维度	Negative Sampling	Hierarchical Softmax
计算效率	更高（$O(1+k)$，$k$通常取5~20）	$O(\log V)$（树高决定）
参数规模	无额外参数（复用词向量）	需维护二叉树节点参数
语义适应性	不依赖词频，动态词表更友好	依赖哈夫曼树（词频驱动）
适用场景	大规模语料（如社交文本）	静态大词表（如百科数据）

关键结论：
负采样的“暴力简化”让Word2Vec能在 百万级词汇表 上高效训练，成为工业界首选。它的核心是 “用抽样代替全量计算”，牺牲一点理论严谨性，换来训练速度的飞跃。