傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式

9.1 傅里叶变换在图像处理中的作用

• 高频：变化剧烈的灰度分量，例如边界
• 低频：变化缓慢的灰度分量，例如一片大海
• 低通滤波器：只保留低频，会使得图像模糊
• 高通滤波器：只保留高频，会使得图像细节增强

OpenCV中主要就是使用cv2.dft()和cv2.idft()，输入图像要先转换成np.float32格式

得到的结果中频率为0的部分会在左上角，通常要转换到中心位置，可以通过shift变换来实现

cv2.dft()返回的结果是双通道的（实部，虚部），通常还需要转换成图像格式才能显示(0,255)。

9.2 相关函数

cv2.dft(img, cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  实现傅里叶变换

np.fft.fftshift(img)                     将图像中的低频部分移动到图像的中心

cv2.magnitude(x, y)                 将 计算矩阵维度的平方根

np.fft.ifftshift(img)                   将图像的低频和高频部分移动到图像原来的位置

cv2.idft(img)                            实现逆傅里叶变换

9.3 构建出傅里叶变换的图片的流程

构建出的傅里叶变化的图片，将低频移到中间位置， 通常呈现中间亮，周围暗，是因为对于低频而言，波动较大，因此呈现亮，对于高频而言，波动较小，因此呈现暗。其步骤如下：

第一步：载入图片

第二步：使用np.float32进行格式转换

第三步：使用cv2.dft进行傅里叶变化

第四步：使用np.fft.shiftfft将低频转移到中间位置

第五步：使用cv2.magnitude将实部和虚部投影到空间域

第六步：进行作图操作

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 第一步读取图片
img = cv2.imread('C:/Users/xxx/Downloads/lena.jpg', 0)

# 第二步：进行float32形式转换
float32_img = np.float32(img)

# 第三步: 使用cv2.dft进行傅里叶变化
dft_img = cv2.dft(float32_img, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

# 第四步：使用np.fft.shiftfft()将变化后的图像的低频转移到中心位置
dft_img_ce = np.fft.fftshift(dft_img)

# 第五步：使用cv2.magnitude将实部和虚部转换为实部，乘以20是为了使得结果更大
img_dft = 20 * np.log(cv2.magnitude(dft_img_ce[:, :, 0], dft_img_ce[:, :, 1]))

# 第六步：进行画图操作
plt.figure(figsize=(12.8,4.8))
plt.subplot(121)
plt.imshow(img，cmap='gray'),plt.title('Original',fontSize=30)
plt.subplot(122)
plt.imshow(img_dft，cmap='gray'),plt.title('dft',fontSize=30)
plt.show()

9.4 低通滤波

只保留低频，即进行低通滤波，因为高频表示是一些细节，即图像的轮廓和边缘，失去了高频部分，图像就容易变得模糊。其步骤如下：

第一步：读取图片

第二步：np.float32进行类型转换

第三步：使用cv2.dft进行傅里叶变化

第四步：使用np.fft.fftshift 将低频部分转换到图像的中心

第五步：构造掩模，使得掩模的中心位置为1，边缘位置为0

第六步：将掩模与傅里叶变换后的图像结合，只保留中心部分的低频位置

第七步：使用np.fft.ifftshift将低频部分转移回图像的原先位置

第八步：使用cv2.idft进行傅里叶的反转换

第九步：使用cv2.magnitude将图像的实部和虚部转换为空间域内

第十步：进行作图操作

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 使用掩模只保留低通

# 第一步读入图片
img = cv2.imread('C:/Users/xxx/Downloads/lena.jpg', 0)
# 第二步：进行数据类型转换
img_float = np.float32(img)
# 第三步：使用cv2.dft进行傅里叶变化
dft = cv2.dft(img_float, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
# 第四步：使用np.fft.fftshift将低频转移到图像中心
dft_center = np.fft.fftshift(dft)
# 第五步：定义掩模：生成的掩模中间为1周围为0
crow, ccol = int(img.shape[0] / 2), int(img.shape[1] / 2) # 求得图像的中心点位置
mask = np.zeros((img.shape[0], img.shape[1], 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

# 第六步：将掩模与傅里叶变化后图像相乘，保留中间部分
mask_img = dft_center * mask

# 第七步：使用np.fft.ifftshift(将低频移动到原来的位置
img_idf = np.fft.ifftshift(mask_img)

# 第八步：使用cv2.idft进行傅里叶的反变化
img_idf = cv2.idft(img_idf)

# 第九步：使用cv2.magnitude转化为空间域内
img_idf = cv2.magnitude(img_idf[:, :, 0], img_idf[:, :, 1])

# 第十步：进行绘图操作
plt.figure(figsize=(12.8,4.8))
plt.subplot(121)
plt.imshow(img,cmap='gray'),plt.title('Original',fontSize=30)
plt.subplot(122)
plt.imshow(img_idf,cmap='gray'),plt.title('idft',fontSize=30)
plt.show()

9.5 高通滤波

只保留高频，即进行高通滤波，因为高频表示是一些细节，即图像的轮廓和边缘，失去了高频部分，图像就容易变得模糊。其步骤如下：

第一步：读取图片

第二步：np.float32进行类型转换

第三步：使用cv2.dft进行傅里叶变化

第四步：使用np.fft.fftshift 将低频部分转换到图像的中心

第五步：构造掩模，使得掩模的中间位置为0，边缘位置为1

第六步：将掩模与傅里叶变换后的图像结合，只保留中间部分

第七步：使用np.fft.ifftshift将低频部分转移回图像的原先位置

第八步：使用cv2.idft进行傅里叶的反转换

第九步：使用cv2.magnitude将图像的实部和虚部转换为空间域内

第十步：进行作图操作

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 只保留高频部分
# 使用掩模只保留高通

# 第一步读入图片
img = cv2.imread('C:/Users/xxx/Downloads/lena.jpg', 0)
# 第二步：进行数据类型转换
img_float = np.float32(img)
# 第三步：使用cv2.dft进行傅里叶变化
dft = cv2.dft(img_float, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
# 第四步：使用np.fft.fftshift将低频转移到图像中心
dft_center = np.fft.fftshift(dft)
# 第五步：定义掩模：生成的掩模中间为0周围为1
crow, ccol = int(img.shape[0] / 2), int(img.shape[1] / 2) # 求得图像的中心点位置
mask = np.ones((img.shape[0], img.shape[1], 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

# 第六步：将掩模与傅里叶变化后图像相乘，保留中间部分
mask_img = dft_center * mask

# 第七步：使用np.fft.ifftshift(将低频移动到原来的位置
img_idf = np.fft.ifftshift(mask_img)

# 第八步：使用cv2.idft进行傅里叶的反变化
img_idf = cv2.idft(img_idf)

# 第九步：使用cv2.magnitude转化为空间域内
img_idf = cv2.magnitude(img_idf[:, :, 0], img_idf[:, :, 1])

# 第十步：进行绘图操作
plt.figure(figsize=(12.8,4.8))
plt.subplot(121)
plt.imshow(img,cmap='gray'),plt.title('Original',fontSize=30)
plt.subplot(122)
plt.imshow(img_idf,cmap='gray'),plt.title('idft',fontSize=30)
plt.show()