在推荐系统的重排阶段，我们常面临结果同质化问题——精排结果相似物料扎堆，导致用户体验单调。行列式点过程（Determinantal Point Processes, DPP）通过数学建模相关性与多样性的平衡，成为解决该问题的经典方案。

---

一、DPP的核心思想

DPP将推荐列表视为一个点过程，其核心是计算子集出现的概率。给定候选集 ( Z )（精排输出的Top-N物料），DPP定义子集 ( Y \subseteq Z ) 出现的概率为：
$$P(Y)\propto \det (L_Y)$$
其中 ( L ) 是核矩阵（Kernel Matrix），( L_Y ) 是 ( L ) 的 ( Y ) 对应的子矩阵。行列式 (\det(L_Y)) 的几何意义是向量集合构成的超平行多面体体积：

• 体积越大 → 向量差异性越大 → 推荐多样性越强
• 对角线元素 $L_{ii}$ 表示物料 $i$ 的质量（如CTR得分）
• 非对角线元素 $L_{ij}$ 表示物料 $i$ 与 $j$ 的相似度

关键公式（核矩阵构造）：
$$L=\text{Diag}(\mathbf{r})\cdot S\cdot \text{Diag}(\mathbf{r})$$

• $\mathbf{r}$：物料质量分向量（如精排得分）
• $S$：物料相似度矩阵，$$S_{ij}=\text{cos}({\text{emb}}_i,{\text{emb}}_j)$$

---

二、核矩阵 ( L ) 的工程实现

1. 基础构造法

# 输入：精排结果物料集合 Z，包含每个物料的embedding和得分
def build_kernel_matrix(Z):
    r = [item.score for item in Z]  # 质量分向量
    S = cosine_similarity([item.embedding for item in Z])  # 相似度矩阵
    L = np.diag(r) @ S @ np.diag(r)  # Diag(r) * S * Diag(r)
    return L

缺陷：( S ) 的余弦相似度可能为负，导致 ( L ) 非正定。

2. 改进方案（文档式6-29）

高斯核保证正定性
$$S_{ij}=\exp \left(-\frac{\text{dist}(i,j{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

3. 个性化加权（华为pDPP）

$$L_{ij}=r_i\cdot r_j\cdot S_{ij}\cdot {\varphi }_u$$
${\varphi }_u$ 为用户个性化权重

---

三、贪婪求解：Fast Greedy MAP

直接枚举所有子集计算 (\det(L_Y)) 是指数级复杂度。Fast Greedy MAP算法（复杂度 (O(N^2 K))）是工业界首选：

def fast_greedy_map(L, K):
    Y = []          # 已选集合
    for _ in range(K):
        max_gain = -np.inf
        best_item = None
        for j in range(len(L)):
            if j in Y: continue
            gain = compute_marginal_gain(L, Y, j)  # 计算边际增益
            if gain > max_gain:
                max_gain = gain
                best_item = j
        Y.append(best_item)
        update_cached_vectors(L, Y)  # 更新中间变量（避免重复计算）
    return Y

关键优化：利用Cholesky分解的增量更新（见文档公式6-47, 6-48）：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{c}}_j& =\frac{1}{\sqrt{L_{jj}-\Vert {\mathbf{v}}_j{\Vert }^2}}\left(L_{Y,j}-V^T{\mathbf{v}}_j\right)\\ d_j& =\sqrt{L_{jj}-\Vert {\mathbf{v}}_j{\Vert }^2}\end{array}$$

其中 ( V ) 是Cholesky分解的三角矩阵，(\mathbf{v}_j) 是中间向量。

DPP 算法流程

---

四、实际应用技巧

1. 特征工程：
   • 质量分 ( $r_i$ )：精排CTR得分 × 时长增益系数
   • Embedding：双塔模型输出的物料向量
2. 负样本策略：
   • 曝光未点击物料作为Hard Negative
   • 随机采样物料作为Easy Negative（比例100:1）
3. 在线服务：
   • Faiss加速相似矩阵计算
   • 核矩阵 ( L ) 的增量更新（新物料动态插入）

---

五、效果对比（Hulu案例）

算法	多样性↑	点击率↑	时长↑
精排基线	0.82	0.125	45s
DPP重排	0.93	0.127	51s

多样性指标：物料类别熵（Entropy），值越大越多样

---

六、总结

DPP的数学美感与工程实用性使其成为重排阶段的核心算法：

• 优势：严格建模相关性与多样性的trade-off
• 挑战：核矩阵构造的合理性、大规模计算的优化
• 趋势：与强化学习（如RNN重排）、多任务学习的结合