1. RSE (Relative Squared Error)

import numpy as np

def RSE(pred, true):
    return np.sqrt(np.sum((true - pred) ** 2)) / np.sqrt(np.sum((true - true.mean()) ** 2))

公式：
$$\text{RSE}=\frac{\sqrt{\sum (y_{\text{true}}-y_{\text{pred}}{)}^2}}{\sqrt{\sum (y_{\text{true}}-{\bar{y}}_{\text{true}}{)}^2}}$$
含义：预测误差相对于基线模型（用均值预测）的比例，值越小越好。
优点：

• 归一化指标，不受数据规模影响，便于跨数据集比较。
• 分子为预测误差，分母为基线模型误差，直观反映模型改进程度。

缺点：

• 对异常值敏感（平方运算放大误差）。
• 当真实值接近均值时（分母接近0），可能导致数值不稳定。

适用场景：

• 回归任务中评估模型相对于简单基线的性能。
• 需要跨数据集或不同尺度变量比较的场景。

2. CORR (Correlation Coefficient)

import numpy as np

def CORR(pred, true):
    u = ((true - true.mean(0)) * (pred - pred.mean(0))).sum(0)
    d = np.sqrt(((true - true.mean(0)) ** 2 * (pred - pred.mean(0)) ** 2).sum(0))
    return (u / d).mean(-1)

公式：
$$\text{CORR}=\frac{\sum (y_{\text{true}}-{\bar{y}}_{\text{true}})(y_{\text{pred}}-{\bar{y}}_{\text{pred}})}{\sqrt{\sum (y_{\text{true}}-{\bar{y}}_{\text{true}}{)}^2\sum (y_{\text{pred}}-{\bar{y}}_{\text{pred}}{)}^2}}$$
含义：预测值与真实值的皮尔逊相关系数，衡量线性相关性，范围[-1, 1]，绝对值越接近1越好。
优点：

• 不依赖量纲，适用于比较不同单位的变量。
• 关注预测值与真实值的变化趋势（方向和幅度）。

缺点：

• 仅反映线性关系，无法捕捉非线性关联。
• 对异常值敏感，可能扭曲整体相关性。

适用场景：

• 时序预测（如股票价格、温度变化）中评估趋势一致性。
• 特征选择时衡量特征与目标的相关性。

3. MAE (Mean Absolute Error)

import numpy as np

def MAE(pred, true):
    return np.mean(np.abs(pred - true))

公式：
$$\text{MAE}=\frac{1}{n}\sum |y_{\text{true}}-y_{\text{pred}}|$$
含义：预测误差的平均绝对值，直观反映预测偏差的大小。
优点：

• 线性惩罚，对异常值不如MSE敏感。
• 误差单位与原始数据一致，易于解释（如“平均预测误差为3元”）。

缺点：

• 梯度在零点不连续，优化时可能不稳定。
• 同等对待所有误差，忽略大误差的潜在影响。

适用场景：

• 异常值较多的数据（如金融交易、传感器数据）。
• 误差绝对值具有实际业务意义的场景（如预测人数、销售额）。

4. MSE (Mean Squared Error)

import numpy as np

def MSE(pred, true):
    return np.mean((pred - true) ** 2)

公式：
$$\text{MSE}=\frac{1}{n}\sum (y_{\text{true}}-y_{\text{pred}}{)}^2$$
含义：预测误差的平方平均，强调大误差的影响。
优点：

• 光滑梯度，优化稳定性好（如在梯度下降中）。
• 数学性质优良，常用于理论分析。

缺点：

• 对异常值极度敏感（平方放大误差）。
• 误差单位与原始数据不一致（如原始单位为“米”，MSE单位为“平方米”）。

适用场景：

• 异常值较少且需要强调大误差的场景（如图像重构、回归任务）。
• 基于梯度优化的模型（如神经网络）的损失函数。

5. RMSE (Root Mean Squared Error)

import numpy as np

def MSE(pred, true):
    return np.mean((pred - true) ** 2)
    
def RMSE(pred, true):
    return np.sqrt(MSE(pred, true))

公式：
$$\text{RMSE}=\sqrt{\text{MSE}}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum (y_{\text{true}}-y_{\text{pred}}{)}^2}$$
含义：MSE的平方根，恢复原始数据单位，平衡大误差的影响。
优点：

• 保持MSE对大误差的敏感性，同时单位与原始数据一致。
• 常用于Kaggle等竞赛的评估指标。

缺点：

• 仍对异常值敏感（继承MSE的特性）。

适用场景：

• 需要与原始数据单位保持一致的误差评估。
• 希望平衡大误差和小误差的影响（相比MAE更关注大误差）。

6. MAPE (Mean Absolute Percentage Error)

import numpy as np

def MAPE(pred, true):
    return np.mean(np.abs((pred - true) / true))

公式：
$$\text{MAPE}=\frac{1}{n}\sum \left|\frac{y_{\text{true}}-y_{\text{pred}}}{y_{\text{true}}}\right|\times 100\%$$
含义：预测误差的百分比平均，直观反映相对误差。
优点：

• 无量纲，便于跨不同量级数据比较。
• 百分比形式易于业务理解（如“平均预测误差为10%”）。

缺点：

• 当真实值接近0时，分母趋近于0，导致指标不稳定或无穷大。
• 对低估（预测值<真实值）的惩罚高于高估（因百分比不对称）。

适用场景：

• 真实值远离0且波动较大的数据（如销售额、人口数量）。
• 需要用百分比表达误差的业务场景。

7. MSPE (Mean Squared Percentage Error)

import numpy as np

def MSPE(pred, true):
    return np.mean(np.square((pred - true) / true))

公式：
$$\text{MSPE}=\frac{1}{n}\sum {\left(\frac{y_{\text{true}}-y_{\text{pred}}}{y_{\text{true}}}\right)}^2$$
含义：预测误差的百分比平方平均，进一步放大相对大误差的影响。
优点：

• 强调相对大误差的惩罚，适合需要严格控制大偏差的场景。

缺点：

• 对异常值极其敏感，可能因少数样本导致指标失真。
• 百分比平方后单位难以直观解释。

适用场景：

• 对大误差容忍度极低的场景（如医疗预测、金融风险评估）。

8. SMAPE (Symmetric Mean Absolute Percentage Error)

import numpy as np

def SMAPE(pred, true):
    # 避免分母为零（添加极小值 epsilon）
    epsilon = 1e-8
    denominator = np.abs(true) + np.abs(pred) + epsilon
    diff = np.abs(true - pred) / denominator * 200.0  # 乘以200因分母有0.5
    return np.mean(diff)

公式：
$$\text{SMAPE}=\frac{1}{n}\sum \frac{|y_{\text{true}}-y_{\text{pred}}|}{(|y_{\text{true}}|+|y_{\text{pred}}|)/2}\times 100\%$$
含义：对称平均绝对百分比误差，通过对称分母解决MAPE的不对称问题。
优点：

• 分母为真实值与预测值的均值，缓解低估/高估的惩罚差异。
• 当真实值为0时，若预测值也为0则误差为0（需特殊处理真实值为0的情况）。
  缺点：
• 计算复杂度略高于MAPE。
• 仍可能受接近0的真实值或预测值影响。
  适用场景：预测值与真实值量级相近的场景、需要对称惩罚的业务（如库存预测）。

9. WMAPE (Weighted Mean Absolute Percentage Error)

def WMAPE(pred, true):
    # 避免分母为零
    epsilon = 1e-8
    denominator = np.sum(np.abs(true)) + epsilon
    return np.sum(np.abs(true - pred)) / denominator * 100.0

公式：
$$\text{WMAPE}=\frac{\sum |y_{\text{true}}-y_{\text{pred}}|}{\sum |y_{\text{true}}|}\times 100\%$$
含义：加权平均绝对百分比误差，以真实值为权重，反映整体相对误差。
优点：

• 避免因个别小值样本导致指标失真（如真实值小但误差比例大的样本权重较低）。
• 计算简单，适合大规模数据快速评估。
  缺点：
• 对真实值为0的样本敏感（需过滤或特殊处理）。
• 无法反映单个样本的误差比例（聚焦整体）。
  适用场景：销售预测（按真实销售额加权）、用户量预测（按历史用户数加权）。

10. 指标对比与选择建议

指标	核心特性	对异常值敏感	单位一致性	适用场景举例
RSE	归一化基线对比	高	是（比例）	模型跨数据集性能排名
CORR	线性相关性度量	中	否（无量纲）	时序趋势分析、特征筛选
MAE	绝对误差，稳健	低	是	含噪声的传感器数据、误差绝对值报告
MSE/RMSE	平方误差，强调大误差	高	MSE否/RMSE是	图像重建、神经网络损失函数
MAPE	相对误差，百分比	中（受小值影响）	否（百分比）	销售额预测、误差百分比汇报
SMAPE	对称相对误差，缓解分母问题	中	否	库存预测、预测值与真实值接近的场景
WMAPE	加权相对误差，整体度量	低（加权平均）	否	大规模数据整体误差评估、去极值场景
MSPE	平方相对误差，强惩罚大误差	极高	否	高风险场景（如医疗、金融）

使用建议：

• 业务解释优先：选MAE、RMSE（绝对误差）或MAPE、SMAPE（相对误差）。
• 异常值处理：含异常值时用MAE/SMAPE，否则用MSE/RMSE/MSPE。
• 对称惩罚需求：选SMAPE而非MAPE（如预测值与真实值可能双向偏离时）。
• 大规模数据整体评估：用WMAPE（加权平均降低极值影响）。
• 评估模型趋势预测能力：结合CORR。